1.0 随机事件和概率

1. 随机事件和概率

1.1 一些概念

• 事件的差：使 A 发生但 B 不发生的事件，记作 $A-B$
• 对立事件：$A$ $B$ 不同时发生，但是其中至少有一个发生
• 互斥事件：A$$B 不同时发生，即 $AB=\emptyset$

1.2 运算规律

• 分配律 $A\cup(BC)=(A\cup B)(B\cup C)$
• 对偶律 $\overline{A\cup B}=\overline{A} \cap\overline{B}$
• $A-B=A\bar{B}$

2. 概率的运算

1. $P(\bar{A})=1-P(A)$
2. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$
3. 若 $A\subset B$ ，则 $P(B-A)=P(B)-P(A)$
4. $P(\bigcup_{i=1}^{n}A_i)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)-\sum_{1\leqslant i \leqslant j \leqslant n}P(A_iA_j)+\cdots +(-1)^{n-1}P(A_1A_2\cdots A_n)$

3. 条件概率

3.1 公式

$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$$

性质：$P(B|A)+P(\bar{B}|A)=1$，与==一般情况下的概率性质相似==。

对于多个事件，

$$P(A_1A_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)\cdots P(A_n|A_1A_2\cdots A_{n-1})$$

3.2 划分

若 $B_1,B_2,\cdots,B_n$ 满足 $B_iB_j=\emptyset$ ，$\cup_{i=1}^{n}B_i=\Omega$，则称为 $\Omega$ 的一个划分

3.3 全概率公式

设 $B_1,B_2,\cdots,B_n$ 为 $\Omega$ 的一个划分，则对任意一个事件 $A$

$$P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)$$

3.4 Bayes 公式

设 $B_1,B_2,\cdots,B_n$ 为 $\Omega$ 的一个划分，且 $P(B_i)>0$，则对任一事件 $A$，有

$$P(B_i|A)=\frac{P(AB_i)}{P(A)}=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_{k=1}^nP(B_k)P(A|B_k)}$$

4. 随机事件的独立性

4.1 定义

若 $A,B$ 满足 $P(AB)=P(A)P(B)$，则称 $A,B$ 相互独立

在 $A,B$，$A,\bar{B}$，$\bar{A},B$，$\bar{A},\bar{B}$ 中，任一组事件相互独立，其他三组均相互独立。

4.2 推广

三事件 $A,B,C$ 相互独立，则

$$P(AB)=P(A)P(B)$$ $$P(BC)=P(B)P(C)$$ $$P(CA)=P(C)P(A)$$ $$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$$